モデル予測制御:基礎、Python実装、二重積分器

Towardsdatascience

モデル予測制御(MPC)は、現代のフィードバック制御において極めて重要な技術であり、システムの将来の挙動を「先読み」することで、その動作を継続的に最適化する洗練された手法です。即座のエラーに反応する従来のコントローラとは異なり、MPCは将来の状態を予測するため、複雑で動的な環境において驚くほど効果を発揮します。

MPCの核心は、反復的なループを通じて動作することにあります。まず、システムの数学モデル(しばしば「プラント」と呼ばれる)を用いて、定義された将来の期間にわたってシステムがどのように振る舞うかを予測します。この予測を利用して、次に最適制御問題(OCP)を定式化し、これを解きます。この問題は、事前に定義された「コスト関数」(エネルギー消費、目標からの偏差、その他の性能基準を表す指標となり得るもの)を最小化する最適な制御行動のシーケンスを見つけることを目指し、同時に様々な制約条件を遵守します。これらの制約には、システムの現在位置や速度に対する厳密な制限(ハード制約)や、コスト関数にペナルティを課すことで強制される特定の挙動への好み(ソフト制約)が含まれる場合があります。

重要な点として、この最適なシーケンスを計算した後でも、MPCは予測された系列の中から最初の制御行動のみを適用します。ここにその適応能力があります。なぜなら、完璧に現実世界の複雑さを捉えるモデルは存在せず、システムは常にノイズや外乱にさらされているからです。この最初の行動が適用された後、システムの実際の状態が直ちに測定されます。この更新された測定値が次の反復の出発点となり、そこでOCPは新しい、ずらされた時間範囲にわたって再求解されます。この予測、最適化、再評価の連続的なサイクルが、MPCが変化する条件に動的に適応することを可能にする堅牢なフィードバックメカニズムを生み出しています。

MPCの利点は非常に大きいものです。システムの状態および制御入力に対するハード制約とソフト制約の両方を明示的に扱う能力は、その主要な強みであり、運用上の境界を正確に管理することを可能にします。さらに、MPCは複雑な非線形システムにも適用でき、幅広いアプリケーションで多様性を提供します。しかし、この強力な能力には主要な課題が伴います。それは、計算集約的な最適化問題をリアルタイムで解決する必要があることです。この「オンライン」計算は、かなりの処理能力を要求する可能性があり、非常に高速に動作するシステムや計算リソースが限られているシステムでの使用を制限する可能性があります。

例として、単純な「二重積分器」システムを考えてみましょう。これは、摩擦のないテーブル上を滑る1kgのブロックに似ており、加えられた力がその加速度を決定します。このシナリオでは、システムの状態は位置と速度によって定義されます。実用的なデジタル制御のために、この連続システムは離散時間モデルに変換され、状態と制御は規則的な短い間隔、例えば0.1秒ごとに更新されます。このようなシステムの最適制御問題は、将来の例えば100の離散時間ステップの期間にわたって、コスト関数(おそらく望ましい位置からの偏差や過剰な制御力をペナルティとして課す)を最小化することを含み、その間、ブロックの位置と加えられる力が指定された制限内に留まることを保証します。

このようなOCPを構築する核となるのは、システムの動特性、初期条件、時間範囲、そして異なる目標(例:状態追従と制御努力)の重要度を重み付けするコスト行列の定義です。専門のソフトウェアツールは、問題の決定変数(将来の状態および制御軌跡)を定義し、複雑な最適化を解決するプロセスを簡素化します。一度解決されると、MPCアルゴリズムはこの解から最初の制御入力を取り出し、それを実際のシステムに適用し、新しい状態を測定し、そして最適化プロセス全体を繰り返します。これにより、絶え間ない適応と修正が保証されます。

MPCコントローラの長期的な信頼性にとって極めて重要な2つの基本的な側面は、「再帰的実行可能性」と「安定性」です。再帰的実行可能性とは、ある時間ステップでOCPの解が存在する場合、次の時間ステップでも解が存在するという保証を指します。一方、安定性とは、制御されたシステムが最終的に望ましい平衡点に収束することを保証するものです。これらの特性を達成するためには、コスト関数の慎重な設計、適切な制約の選択、そして十分な長さの予測ホライズンの選択がしばしば必要となります。例えば、二重積分器の例では、原点からの距離にペナルティを課すコスト関数は、システムが原点に収束することを促します。しかし、非常に短い予測ホライズン、特にシステムがその操作限界に近い場合、有効な制御シーケンスが見つからない「実行不可能な」問題を引き起こしたり、システムが不安定な挙動を示したりする可能性があります。

モデル予測制御は活発な研究分野であり、現実世界の複雑性に対応するために絶えず進化しています。「出力MPC」のようなトピックは、すべてのシステム状態を直接測定できないシナリオを扱い、「経済MPC」は単なる安定性ではなく、長期的な経済的性能の最適化に焦点を当てています。「チューブMPC」のような戦略は、ノイズや外乱に対するコントローラのロバスト性を高めるために開発されています。これらの継続的な進歩は、MPCの適応性と、自律型およびインテリジェントシステム最前線におけるその永続的な関連性を強調しています。